题目内容

已知ai＞0（i=1，2，…，n），考查
①a1•
1
a1
≥1；
②(a1+a2)(
1
a1
+
1
a2
)≥4；
③(a1+a2+a3)(
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
)≥9．
归纳出对a1，a2，…，an都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．
结论：（a1+a2+…+an）（
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
）≥n2…（3分）
证明：①当n=1时，显然成立；…（5分）
②假设当n=k时，不等式成立，
即：（a1+a2+…+ak）（
1
a1
+
1
a2
+…+
1
ak
）≥k2…（7分）
那么，当n=k+1时，
（a1+a2+…+ak+ak+1）（
1
a1
+
1
a2
+…+
1
ak
+
1
ak+1
）
=（a1+a2+…+ak）（
1
a1
+
1
a2
+…+
1
ak
）+ak+1（
1
a1
+
1
a2
+…+
1
ak
）+
1
ak+1
（a1+a2+…+ak）+1
≥k2+（
ak+1
a1
+
a1
ak+1
）+（
ak+1
a2
+
a2
ak+1
）+…+（
ak+1
ak
+
ak
ak+1
）+1
≥k2+2k+1
=（k+1）2
即n=k+1时，不等式也成立．…（14分）
由①②知，不等式对任意正整数n成立．…（15分）
练习册系列答案
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已知ai＞0（i=1，2，…，n），考察下列式子：(i)a1•
1
a1
≥1；(ii)(a1+a2)(
1
a1
+
1
a2
)≥4；(iii)(a1+a2+a3)(
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
)≥9．我们可以归纳出，对a1，a2，…，an也成立的类似不等式为
 
．
已知ai＞0（i=1，2，3，…，n），观察下列不等式：
a1+a2
2
≥
a1•a2
；
a1+a2+a3
3
≥
3a1a2a3
；
a1+a2+a3+a4
4
≥
4a1•a2•a3•a4
；…；由以上不等式，我们可以推测到一个对a1，a2，…，an也成立的不等式为
a1+a2+…+an
n
≥
na1a2…an
a1+a2+…+an
n
≥
na1a2…an
．
已知ai＞0（i=1，2，…，n），考查
①a1•
1
a1
≥1；
②(a1+a2)(
1
a1
+
1
a2
)≥4；
③(a1+a2+a3)(
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
)≥9．
归纳出对a1，a2，…，an都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．
已知ai＞0（i=1，2，3，…，n），观察下列不等式：；；；…；由以上不等式，我们可以推测到一个对a1，a2，…，an也成立的不等式为    ．

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