题目内容
已知sin(2α+β)=3sinβ，β≠kπ+
，α+β≠kπ+
(k∈Z)，
求证：tan（α+β）=2tanβ．
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
求证：tan（α+β）=2tanβ．
分析：把条件3sinβ=sin（2α+β）中的角都用所要证明的结论中的角表示为3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]；再利用两角和与差的正弦公式展开，整理即可证明结论．
解答：证明：由3sinβ=sin（2α+β）得：
3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]
⇒3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα
⇒sin（α+β）cosα=2c0s（α+β）sinα
∵α+β≠
+kπ，k∈Z．
∴
=
．
⇒tan（α+β）=2tanα．
3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]
⇒3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα
⇒sin（α+β）cosα=2c0s（α+β）sinα
∵α+β≠
| π |
| 2 |
∴
| sin(α+β)cosα |
| cos(α+β)cosα |
| 2cos(α+β)sinα |
| cos(α+β)cosα |
⇒tan（α+β）=2tanα．
点评：本题考查三角恒等式的证明，一般都是把已知条件与所证结论相结合，即要看条件，又要分析条件和结论之间的关系．
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