Question

已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．

(1)证明：直线l过定点；

(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；

(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

Answer 1

解：(1)证明：法一：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，

故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．

法二：设直线l过定点(x₀，y₀)，

则kx₀－y₀＋1＋2k＝0对任意k∈R恒成立，

即(x₀＋2)·k－y₀＋1＝0恒成立，

∴x₀＋2＝0，－y₀＋1＝0，

解得x₀＝－2，y₀＝1，

故直线l总过定点(－2,1)．

(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，

要使直线l不经过第四象限，则

解得k的取值范围是[0，＋∞)．

(3)依题意，直线l在x轴上的截距为

－，在y轴上的截距为1＋2k，

∴A，B(0,1＋2k)．

又－<0且1＋2k>0，∴k>0.

故S＝|OA||OB|＝×

＝≥(4＋4)＝4，

当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．

故S的最小值为4，

此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.