题目内容
【题目】2019年某地初中毕业升学体育考试规定：考生必须参加长跑、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项测试各项20分，满分60分．某学校在初三上学期开始时，为掌握全年级学生1分钟跳绳情况，按照男女比例利用分层抽样抽取了100名学生进行测试，其中女生54人，得到下面的频率分布直方图，计分规则如表1：
表1
每分钟跳绳个数 |
|
|
|
|
得分 | 17 | 18 | 19 | 20 |
（1）规定：学生1分钟跳绳得分20分为优秀，在抽取的100名学生中，男生跳绳个数大于等于185个的有28人，根据已知条件完成表2，并根据这100名学生测试成绩，能否有99%的把握认为学生1分钟跳绳成绩优秀与性别有关？
表2
跳绳个数 |
|
| 合计 |
男生 | 28 | ||
女生 | 54 | ||
合计 | 100 |
附：参考公式：
临界值表：
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
（2）根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步．假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，全年级恰有2000名学生，所有学生的跳绳个数
服从正态分布
（用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，各组数据用中点值代替）．
①估计正式测试时，1分钟跳182个以上的人数（结果四舍五入到整数）；
②若在全年级所有学生中任意选取3人，正式测试时1分钟跳195个以上的人数为
，求的分布列及期望．
附：若随机变量服从正态分布，则
，
，
．
．
【答案】（1）不能有99%的把握认为认为学生1分钟跳绳成绩优秀与性别有关；（2）①约为1683人，②见解析
【解析】
（1）根据题目所给信息，完成表2，根据表中数据计算K2的观测值k，查表判断即可；
（2）利用频率分布直方图求解平均数和标准差，推出正式测试时，μ=185+10=195，σ=13，μ-σ=182．
①
，由此可推出人数．
②由正态分布模型，全年级所有学生中任取1人，每分钟跳绳个数195以上的概率为0.5，得到ξ服从
，求出ξ的分布列，然后求解期望即可．
（1）在抽取的100人中，满分的总人数为100×(0.03+0.01+0.008)×10=48人，
男生满分的有28人，所以女生满分的有20人，
男生共有46人，女生54人，所以男生跳绳个数不足185个的有4628=18人，女生跳绳个数不足185的有5420=34人，
完成表2如下图所示：
跳绳个数 |
|
| 合计 |
男生 | 28 | 18 | 46 |
女生 | 20 | 34 | 54 |
合计 | 48 | 52 | 100 |
由公式可得
，因为
，
所以不能有99%的把握认为认为学生1分钟跳绳成绩优秀与性别有关；
（2）①根据频率分布直方图可得初三上学期跳绳个数的平均数：
，
而
，所以正式测试时，
，故
服从正态分布
，
且
，则，
所以
，故正式测试时，1分钟跳182个以上的人数约为1683人；
②
，
服从，
，
，
，
，
则
的分布列为：
| 0 | 1 | 2 | 3 |
|
|
|
|
|
．
