题目内容
给出下列四个命题：
①若|
|+|
|=0，则
=
=
；
②在△ABC中，若
+
+
=
，则O为△ABC的重心；
③若
，
是共线向量，则
•
=|
|•|
|，反之也成立；
④若
，
是非零向量，则
+
=
的充要条件是存在非零向量
，使
•
+
•
=
．
其中，正确命题的个数是（ ）
①若|
| a |
| b |
| a |
| b |
| 0 |
②在△ABC中，若
| OA |
| OB |
| OC |
| 0 |
③若
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
④若
| a |
| b |
| a |
| b |
| 0 |
| c |
| a |
| c |
| b |
| c |
| 0 |
其中，正确命题的个数是（ ）
分析：对于①，利用实数的性质即可进行判断；对于②，延长AO到E，使OE=AO，交BC于F，根据图形的对称性，欲证明O为△ABC的重心，只须证明AO所在的直线为△ABC的边BC上的中线即可，结合向量的几何意义，也就是要证明
+
=
即可．对于③，利用向量的数量积公式即可进行判断；对于④，利用向量的数量积与垂直的关系进行判断即可．
| OB |
| OC |
| OE |
解答：
证明：①若|
|+|
|=0，则|
|=|
|=0，则
=
=
；
正确；
对于②：如图，延长AO到E，
使OE=AO，交BC于F，
则
=-
．
而由
+
+
=0，
有
+
=-
，∴
+
=
，
∴四边形OBEC为平行四边形．
∴OE平分BC，即AO所在的直线为△ABC的边BC上的中线．
同理可证，CO，BO所在的直线分别为AB，AC边上的中线．∴O为△ABC的重心．正确；
对于③：若
，
是共线向量，则它们的夹角θ为0或π，则
•
=|
|•|
|cosθ=±|
|•|
|，故③错；
④若
，
是非零向量，若存在非零向量
，使
•
+
•
=（
+
）•
=0，说明向量（
+
）与
垂直，并不能得出
+
=
，故错．
故选B．
证明：①若|| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| 0 |
正确；
对于②：如图，延长AO到E，
使OE=AO，交BC于F，
则
| OE |
| OA |
而由
| OA |
| OB |
| OC |
有
| OB |
| OC |
| OA |
| OB |
| OC |
| OE |
∴四边形OBEC为平行四边形．
∴OE平分BC，即AO所在的直线为△ABC的边BC上的中线．
同理可证，CO，BO所在的直线分别为AB，AC边上的中线．∴O为△ABC的重心．正确；
对于③：若
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
④若
| a |
| b |
| c |
| a |
| c |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| 0 |
故选B．
点评：本小题主要考查三角形重心、三角形重心的应用、向量加法的几何意义、向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力、转化思想．属于基础题．
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