Question

8．已知命题$p：?x＞0，x+\frac{2}{x}≥m$；q：m²-4m-5＞0．
（1）若命题?p是假命题，求m的最大值；
（2）若命题中p，p∨q，p∧q中有两个真命题，一个假命题，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对于命题P：利用基本不等式的性质即可得出m的取值范围，若命题?p是假命题，则命题p是真命题，即可得出；
（2）对于命题q：m²-4m-5＞0，解得m范围．由命题中p，p∨q，p∧q中有两个真命题，一个假命题，只能：p是真命题，q是假命题，解出即可．

解答 解：（1）命题P：∵x＞0，∴$x+\frac{2}{x}$$≥2\sqrt{x•\frac{2}{x}}$=2$\sqrt{2}$，∴m≤2$\sqrt{2}$；
若命题?p是假命题，∴命题p是真命题，∴m$≤2\sqrt{2}$，
∴m的最大值为2$\sqrt{2}$．
（2）对于命题q：m²-4m-5＞0，解得m＞5或m＜-1．
由命题中p，p∨q，p∧q中有两个真命题，一个假命题，
只能：p是真命题，q是假命题，则p，p∨q，是真命题，p∧q是假命题，
可得$\left\{\begin{array}{l}{m≤2\sqrt{2}}\\{-1≤m≤5}\end{array}\right.$，解得-1≤m$≤2\sqrt{2}$．
∴m的取值范围是-1≤m$≤2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了复合命题真假的判定方法、一元二次不等式的解法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．