Question

11．若有穷数列{a_n}（n≥3）同时满足：
（1）$\sum_{k=1}^{n}$a_k=0；（2）$\sum_{k=1}^{n}$|a_k|=1；则称数列{a_n}为n阶好数列．
给出以下命题（以下数列项数都大于或等于3）：
①不存在有穷常数列，它是好数列；
②存在等差数列，它是好数列；
③若有穷等比数列{a_n}是2k阶好数列（k≥2），则它的公比只能等于-l；
④存在各项非负的2013阶好数列．
以上所有正确命题的序号为①②③．

Answer 1

分析 ①假设存在有穷常数列{c}，它是好数列，则nc=0，解得c=0，而不满足$\sum_{k=1}^{n}$|a_k|=1，即可判断出正误；
②例如：数列-$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$，是等差数列，为好数列，即可判断出正误．
③有穷等比数列{a_n}是2k阶好数列（k≥2），则必然q＜0，由$\sum_{k=1}^{n}$a_k=0，则a₁×$\frac{1-{q}^{2k}}{1-q}$=0，解得q=-1．
④不可能存在各项非负的2013阶好数列，否则$\sum_{k=1}^{n}$a_k=0不满足，即可判断出正误．

解答 解：①假设存在有穷常数列{c}，它是好数列，则nc=0，解得c=0，而不满足$\sum_{k=1}^{n}$|a_k|=1，因此不存在有穷常数列，它是好数列，正确．
②例如：数列-$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$，是等差数列，为好数列，正确．
③有穷等比数列{a_n}是2k阶好数列（k≥2），则必然q＜0，由$\sum_{k=1}^{n}$a_k=0，则a₁×$\frac{1-{q}^{2k}}{1-q}$=0，解得q^2k=1，则q=-1．
因此它的公比只能等于-l，正确；
④不可能存在各项非负的2013阶好数列，否则$\sum_{k=1}^{n}$a_k=0不满足，因此不正确．
故答案为：①②③．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、新定义，考查了推理能力与计算能力，属于难题．