Question

已知曲线C的方程为x²+ay²=1（a∈R）．
（1）讨论曲线C所表示的轨迹形状；
（2）若a≠﹣1时，直线y=x﹣1与曲线C相交于两点M，N，且|MN|= ，求曲线C的方程．

Answer 1

解：（1）当a＜0时，曲线C的轨迹是焦点在x轴上的双曲线；
当a=0时，曲线C的轨迹是两条平行的直线x=1和x=﹣1；
当0＜a＜1时，曲线C的轨迹是焦点在y轴上的椭圆；  
当a=1时，曲线C的轨迹是圆 x²+y²=1；          
当a＞1时，曲线C的轨迹是焦点在x轴上的椭圆．      
（2）由 ，得（a+1）x²﹣2ax+a﹣1=0…①
因为a≠﹣1，
所以方程①为一元二次方程，△=4a²﹣4（a+1）（a﹣1）=4＞0，
所以直线l与曲线C必有两个交点．       
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁，x₂为方程①的两根，
所以x₁+x₂= ，x₁x₂= ，
所以|MN|= |x₁﹣x₂|= × = ，
所以a²+2a﹣3=0，解得a=1或a=﹣3．  
因此曲线C的方程为x²+y²=1或x²﹣3y²=1．