Question

数列{a_n}满足a₁=0，a₂=2，，
（I）求a₃，a₄，并求数列{a_n}的通项公式；
（II）设S_k=a₁+a₃+…+a_2k-1，T_k=a₂+a₄+…+a_2k，，求使W_k＞1的所有k的值，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题意知，a₄=（1+cos²π）a₂+4sin²π=2a₂=4，一般地，当n=2k-1（k∈N^*）时，a_2k+1-a_2k-1=4．因此a_2k-1=4（k-1）．当n=2k（k∈N^*）时，a_2k=2^k．由此可知数列{a_n}的通项公式为．
（II）由题设知，S_k=a₁+a₃++a_2k-1=0+4++4（k-1）=2k（k-1），T_k=a₂+a₄++a_2k=2+2²+2^k=2^k+1-2，
由此可知当k≥6时，W_k+1＜W_k．满足W_k＞1的所有k的值为3，4，5．
解答：解：（I）因为a₁=0，a₂=2，所以，a₄=（1+cos²π）a₂+4sin²π=2a₂=4，一般地，当n=2k-1（k∈N^*）时，，
即a_2k+1-a_2k-1=4．所以数列{a_2k-1}是首项为0、公差为4的等差数列，
因此a_2k-1=4（k-1）．
当n=2k（k∈N^*）时，，
所以数列{a_2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a_2k=2^k．
故数列{a_n}的通项公式为

（II）由（I）知，S_k=a₁+a₃++a_2k-1=0+4++4（k-1）=2k（k-1），T_k=a₂+a₄++a_2k=2+2²+2^k=2^k+1-2，
于是W₁=0，W₂=1，，，，．
下面证明：当k≥6时，W_k＜1．事实上，当k≥6时，，
即W_k+1＜W_k．
又W₆＜1，所以当k≥6时，W_k＜1．
故满足W_k＞1的所有k的值为3，4，5．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．