Question

已知等比数列{a_n}的首项a₁=8，令b_n=log₂a_n，S_n是数列{b_n}的前n项和，若S₃是数列{S_n}中的唯一最大项，则{a_n}的公比q的取值范围是________．

Answer 1

分析：由题意易得数列{b_n}的通项公式，可判其为等差数列，进而把问题转化为，代入可解到q的范围．
解答：由题意可得a_n=a₁q^n-1=8•q^n-1，
所以b_n=log₂a_n=log₂（8•q^n-1）
=3+=3+（n-1）log₂q，
上式为关于n的一次函数的形式，故数列{b_n}为等差数列，
又知S₃是数列{S_n}中的唯一最大项，故
代入可得，解得，
故＜q＜2^-1，即
故答案为：
点评：本题考查等差数列和等比数列的综合应用，设及转化的思想，属基础题．