Question

19．设a，b∈R，求证：a²+b²+$\frac{7}{4}$＞ab+2a+$\frac{b}{2}$．

Answer 1

分析 通过变形可知（a²+b²+$\frac{7}{4}$）-（ab+2a+$\frac{b}{2}$）=$\frac{1}{2}$（2a²+2b²+$\frac{7}{2}$-2ab-4a-b）=$\frac{1}{2}$[（a-b）²+（a-2）²+（b-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{3}{4}$]，数形结合即得结论．

解答 证明：（a²+b²+$\frac{7}{4}$）-（ab+2a+$\frac{b}{2}$）
=$\frac{1}{2}$（2a²+2b²+$\frac{7}{2}$-2ab-4a-b）
=$\frac{1}{2}$[（a²-2ab+b²）+（a²-4a+4）+（${b}^{2}-b+\frac{1}{4}$）-$\frac{3}{4}$]
=$\frac{1}{2}$[（a-b）²+（a-2）²+（b-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{3}{4}$]，
而（a-b）²+（a-2）²+（b-$\frac{1}{2}$）²表示点P（2，$\frac{1}{2}$）到直线l：y=x的距离，
利用点到直线的距离公式可知d=$\frac{2-\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{2\sqrt{2}}$，
∵$\frac{3}{2\sqrt{2}}$＞$\frac{3}{4}$，
∴（a²+b²+$\frac{7}{4}$）-（ab+2a+$\frac{b}{2}$）＞0，
∴a²+b²+$\frac{7}{4}$＞ab+2a+$\frac{b}{2}$．

点评 本题考查不等式的证明，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．