Question

19．已知正实数x，y满足x+$\frac{2}{x}$+2y+$\frac{4}{y}$=10，则xy的最大值为$\frac{15+\sqrt{161}}{4}$．

Answer 1

分析 令xy=t可得y=$\frac{t}{x}$，可得10=x+$\frac{2}{x}$+$\frac{2t}{x}$+$\frac{4x}{t}$=（1+$\frac{4}{t}$）x+$\frac{2+2t}{x}$，由基本不等式可得t的不等式，解不等式可得．

解答 解：令xy=t，t＞0，则y=$\frac{t}{x}$，
∴10=x+$\frac{2}{x}$+2y+$\frac{4}{y}$=x+$\frac{2}{x}$+$\frac{2t}{x}$+$\frac{4x}{t}$
=（1+$\frac{4}{t}$）x+$\frac{2+2t}{x}$≥2$\sqrt{（1+\frac{4}{t}）x•\frac{2+2t}{x}}$
=2$\sqrt{\frac{2（t+1）（t+4）}{t}}$，即2$\sqrt{\frac{2（t+1）（t+4）}{t}}$≤10，
整理可得2t²-15t+8≤0，
解不等式可得$\frac{15-\sqrt{161}}{4}$≤t≤$\frac{15+\sqrt{161}}{4}$，
∴xy的最大值为$\frac{15+\sqrt{161}}{4}$．
故答案为：$\frac{15+\sqrt{161}}{4}$

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及换元法和不等式的解法，属中档题．