Question

4．如图，在二面角A-CD-B中，BC⊥CD，BC=CD=2，点A在直线AD上运动，满足AD⊥CD，AB=3．现将平面ADC沿着CD进行翻折，在翻折的过程中，线段AD长的取值范围是$[\sqrt{5}-2，\sqrt{5}+2]$．

Answer 1

分析 根据条件利用向量法得到$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{CB}$，利用三角函数的有界性转化为不等式问题进行求解就可．

解答 解：由题意得$\overrightarrow{AD}$⊥$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{DC}$⊥$\overrightarrow{CB}$，
设平面ADC沿着CD进行翻折过程中，二面角A-CD-B的夹角为θ，
则＜$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{CB}$＞=θ，
∵$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{CB}$，
∴平方得$\overrightarrow{AB}$²=$\overrightarrow{AD}$²+$\overrightarrow{DC}$²+$\overrightarrow{CB}$²+2$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{DC}$+2$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{AD}$+2$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{CB}$，
设AD=x，∵BC=CD=2，AB=3
∴9=x²+4+4-4cosθx，
即x²-4cosθx-1=0，
即cosθ=$\frac{{x}^{2}-1}{4x}$
∵-1≤cosθ≤1，
∴-1≤$\frac{{x}^{2}-1}{4x}$≤1，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1≤4x}\\{{x}^{2}-1≥-4x}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x-1≤0}\\{{x}^{2}+4x-1≥0}\end{array}\right.$，
则$\left\{\begin{array}{l}{2-\sqrt{5}≤x≤2+\sqrt{5}}\\{x≥-2+\sqrt{5}或x≤-2-\sqrt{5}}\end{array}\right.$．
∵x＞0，∴$\sqrt{5}$-2≤x≤$\sqrt{5}$+2，
即AD的取值范围是$[\sqrt{5}-2，\sqrt{5}+2]$，
故答案为：$[\sqrt{5}-2，\sqrt{5}+2]$

点评 本题主要考查二面角的应用，根据向量法进行转化，结合余弦函数的有界性是解决本题的关键．综合性较强，质量较高．