Question

某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）如图设小艇的速度为v，时间为t相遇，则由余弦定理得：OC²=AC²+OA²-2×AC×OAcos∠OAC，即：vt²=400+900t²-1200tcos60=900t²-600t+400=再由二次函数法求解最值．
（2）根据题意，要用时最小，则首先速度最高，即为：30海里/小时，然后是距离最短，则由（1）可得：
OC²=AC²+OA²-2×AC×OAcos∠OAC即：（30t）²=400+900t²-1200tcos60解得：t=，再解得相应角．
解答：解：（1）如图设小艇的速度为v，时间为t相遇，
则由余弦定理得：OC²=AC²+OA²-2×AC×OAcos∠OAC
即：vt²=400+900t²-1200tcos60=900t²-600t+400=
当t=时，取得最小值，此时，v=30
（2）要用时最小，则首先速度最高，即为：30海里/小时，则由（1）可得：OC²=AC²+OA²-2×AC×OAcos∠OAC即：（30t）²=400+900t²-1200tcos60解得：t=，此时∠BOD=30°
此时，在△OAB中，OA=OB=AB=20，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．
点评：本题主要考查函数模型的建立和应用，主要涉及了余弦定理，二次函数法求最值，还考查了数形结合的思想．