题目内容
某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（Ⅱ）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．
分析：（Ⅰ）设相遇时小艇的航行距离为S海里，根据余弦定理可得S关于t的表达式
，进而可知当t=
时，S有最小值为10
，进而求得此时的速度v．
（Ⅱ）设小艇与轮船在B处相遇．根据余弦定理可得v关于t的表达式，再根据t的范围及二次函数的单调性求得v的最小值及此时t的值．
900(t-
|
| 1 |
| 3 |
| 3 |
（Ⅱ）设小艇与轮船在B处相遇．根据余弦定理可得v关于t的表达式，再根据t的范围及二次函数的单调性求得v的最小值及此时t的值．
解答：解：（Ⅰ）设相遇时小艇的航行距离为S海里，
则S=
=
=
故当t=
时，S有最小值为10
，此时v=
=30
即小艇以30
海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
（Ⅱ）设小艇与轮船在B处相遇．
由题意可知：（vt）2=202+（30t）2-2•20•30t•cos（90°-30°）
化简得v2=
-
+900=400(
-
)2+675
由于0＜t≤
，即
≥ 2
所以当
=2时，v取得最小值10
即小艇航行速度的最小值为10
海里/小时．
则S=
| 900t2+400-2•30t•20•cos(90°-30°) |
| 900t2-600t+400 |
900(t-
|
故当t=
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| S |
| t |
| 3 |
即小艇以30
| 3 |
（Ⅱ）设小艇与轮船在B处相遇．
由题意可知：（vt）2=202+（30t）2-2•20•30t•cos（90°-30°）
化简得v2=
| 400 |
| t2 |
| 600 |
| t |
| 1 |
| t |
| 3 |
| 4 |
由于0＜t≤
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| t |
所以当
| 1 |
| t |
| 13 |
即小艇航行速度的最小值为10
| 13 |
点评：本题主要考查余弦定理在实际中的应用．属基础题．
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处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以
海里/小时的航行速度匀速行驶，经过
小时与轮船相遇。