Question

在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,且满足=== (如图(1)),将△AEF沿EF折起到△EF的位置,使二面角EFB成直二面角,连接B、P(如图(2)).

(1)求证: E⊥平面BEP;
(2)求直线E与平面BP所成角的大小.

Answer 1

(1)见解析；(2)直线E与平面BP所成角的大小为.

试题分析：(1)为计算上的便利，不妨设正三角形ABC的边长为3,

利用已知条件首先得到△ADF是正三角形.再推出EF⊥AD,∠EB为二面角EFB的平面角,根据二面角EFB为直二面角,得到E⊥BE.
又∵BE∩EF=E,∴E⊥平面BEF,即E⊥平面BEP.
(2)建立空间直角坐标系,利用“空间向量方法”求角.
试题解析： (1)不妨设正三角形ABC的边长为3,

则在图(1)中,取BE的中点D,连接DF,
∵===,∴FA=AD=2.又∠A=60°,
则△ADF是正三角形.又AE=ED=1,∴EF⊥AD,
∴在图(2)中有E⊥EF,BE⊥EF,∴∠EB为二面角EFB的平面角,
∵二面角EFB为直二面角,∴E⊥BE.
又∵BE∩EF=E,∴E⊥平面BEF,即E⊥平面BEP.
(2)由(1)可知E⊥平面BEP,BE⊥EF,建立如图所示的空间直角坐标系,
则E(0,0,0),  (0,0,1),B(2,0,0).连接DP,由(1)知EF