Question

已知圆M：x²＋(y－2)²＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．

(1)若Q(1,0)，求切线QA，QB的方程；

(2)求四边形QAMB面积的最小值；

(3)若|AB|＝，求直线MQ的方程．

Answer 1

解　(1)设过点Q的圆M的切线方程为x＝my＋1，

则圆心M到切线的距离为1，

∴＝1，∴m＝－或0，

∴QA，QB的方程分别为3x＋4y－3＝0和x＝1.

(2)∵MA⊥AQ，∴S_{四边形MAQB}＝|MA|·|QA|＝|QA|＝＝.

∴四边形QAMB面积的最小值为.

(3)设AB与MQ交于P，

则MP⊥AB，MB⊥BQ，∴|MP|＝＝.

在Rt△MBQ中，|MB|²＝|MP||MQ|，即1＝|MQ|，

∴|MQ|＝3，∴x²＋(y－2)²＝9.

设Q(x,0)，则x²＋2²＝9，

∴x＝±，∴Q(±，0)，

∴MQ的方程为2x＋y－2＝0或2x－y＋2＝0.