题目内容
（2012•江苏二模）已知函数f(x)=sin(
+x)sin(
-x)+
sinxcosx(x∈R)
（1）求f(
)的值；
（2）在△ABC中，若f(
)=1，求sinB+sinC的最大值．
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3 |
（1）求f(
| π |
| 6 |
（2）在△ABC中，若f(
| π |
| 2 |
分析：（1）利用倍角公式与辅助角公式将f（x）=sin（
+x）sin（
-x）+
sinxcosx化为：f（x）=sin（2x+
），即可求得f（
）的值；
（2）由A为三角形的内角，f（
）=sin（2A+
）=1可求得A=
，从而sinB+sinC=sinB+sin（
-B），展开后利用三角函数的辅助角公式即可求得sinB+sinC的最大值．
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
（2）由A为三角形的内角，f（
| A |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
解答：（1）∵f（x）=sin（
+x）sin（
-x）+
sinxcosx
=
cos2x+
sin2x…（2分）
=sin（2x+
），…（4分）
∴f（
）=1．…（6分）
（2）由f（
）=sin（A+
）=1，
而0＜A＜π可得：
A+
=
，即A=
．（8分）
∴sinB+sinC=sinB+sin（
-B）=
sinB+
cosB=
sin（B+
）．…（12分）
∵0＜B＜
，
∴
＜B+
＜π，0＜sin（B+
）≤1，
∴sinB+sinC的最大值为
．…（14分）
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3 |
=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
=sin（2x+
| π |
| 6 |
∴f（
| π |
| 6 |
（2）由f（
| A |
| 2 |
| π |
| 6 |
而0＜A＜π可得：
A+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
∴sinB+sinC=sinB+sin（
| 2π |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| π |
| 3 |
∵0＜B＜
| 2π |
| 3 |
∴
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴sinB+sinC的最大值为
| 3 |
点评：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，着重考查三角函数的辅助角公式的应用，考查分析与推理能力，属于中档题．
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