题目内容
（2012•江苏二模）设实数n≤6，若不等式2xm+（2-x）n-8≥0对任意x∈[-4，2]都成立，则
的最小值为
| m4-n4 |
| m3n |
-
| 80 |
| 3 |
-
．| 80 |
| 3 |
分析：先确定m，n的范围，再得出m=2，n=6时，
取最小值即可．
| m4-n4 |
| m3n |
解答：解：设y=2xm+（2-x）n-8，整理可得y=﹙2m-n﹚x+﹙2n-8﹚
当2m-n＞0时，因为x∈[-4，2]，所以ymin=﹙2m-n﹚•﹙-4﹚+﹙2n-8﹚=-8m+6n-8
当2m-n＜0时，因为x∈[-4，2]，所以ymin=﹙2m-n﹚•2+﹙2n-8﹚=4m-8
∵不等式2xm+（2-x）n-8≥0对任意x∈[-4，2]都成立，
∴m，n满足
或
可行域如图
或
∴当且仅当m=2，n=6时，(
)max=3
又
=
-(
)3，∴
的最小值为=
-33=-
故答案为：-
当2m-n＞0时，因为x∈[-4，2]，所以ymin=﹙2m-n﹚•﹙-4﹚+﹙2n-8﹚=-8m+6n-8
当2m-n＜0时，因为x∈[-4，2]，所以ymin=﹙2m-n﹚•2+﹙2n-8﹚=4m-8
∵不等式2xm+（2-x）n-8≥0对任意x∈[-4，2]都成立，
∴m，n满足
|
|
可行域如图
或∴当且仅当m=2，n=6时，(
| n |
| m |
又
| m4-n4 |
| m3n |
| m |
| n |
| n |
| m |
| m4-n4 |
| m3n |
| 1 |
| 3 |
| 80 |
| 3 |
故答案为：-
| 80 |
| 3 |
点评：本题考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．
练习册系列答案
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