Question

如图是一个直三棱柱（以A₁B₁C₁为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．
已知A₁B₁=B₁C₁=2，∠A₁B₁C₁=90°，AA₁=4，BB₁=2，CC₁=3．
（I）设点O是AB的中点，证明：OC平面A₁B₁C₁；
（II）求此几何体的体积；
（Ⅲ）点F为AA₁上一点，若BF⊥平面COB₁，求AF的长．

Answer 1

（I）证明：作ODAA₁交A₁B₁于D，连C₁D，则ODBB₁CC₁．
∵O是AB的中点，∴OD==CC₁．
∴ODC₁C是平行四边形，
∴OCC₁D．
∵C₁D平面A₁B₁C₁且OC平面A₁B₁C₁，
∴OC面A₁B₁C₁．
（II）以同样大的几何体，进行补形，可得一直三棱柱，底面为△A₁B₁C₁，高为6
∴所求几何体体积为V=
（Ⅲ）建立如图所示的空间直角坐标系，则B₁（0，0，0），B（0，0，2），
C（0，2，3），设F（2，0，m），
则，
若BF⊥平面COB₁，则BF⊥B₁C，
∴m=2
∴AF=2