Question

（2011•天津模拟）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，顶点A₁在底面ABC上的射影恰为点B，且AB=AC=A₁B=2．
（1）证明：平面A₁AC⊥平面AB₁B；
（2）求棱AA₁与BC所成的角的大小；
（3）若点P为B₁C₁的中点，并求出二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）因为顶点在A₁底面ABC上的射影恰为点B，得到A₁B⊥AC，又AB⊥AC，利用线面垂直的判断定理可得AC⊥面AB₁B，从而可证平面A₁AC⊥平面AB₁B．
（2）建立空间直角坐标系，求出

AA1

=(0，2，2)，

BC

=

B1C1

=(2，-2，0)，利用向量的数量积公式求出棱AA₁与BC所成的角的大小；
（3）求出平面PAB的法向量为

n1

，而平面ABA₁的法向量

n2

=（1，0，0），利用向量的数量积公式求出二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值．

解答：证明：（1）∵A₁B⊥面ABC，∴A₁B⊥AC，------（1分）
又AB⊥AC，AB∩A₁B=B
∴AC⊥面AB₁B，------（3分）
∵AC?面A₁AC，
∴平面A₁AC⊥平面AB₁B；------（4分）
（2）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则C（2，0，0），B（02，0），A₁（0，2，2），B₁（0，4，2），
所以

AA1

=(0，2，2)，

BC

=

B1C1

=(2，-2，0)．
所以 cos＜

AA1

，

BC

＞=

AA1 • BC

| AA1 || BC |

=-

1

2

，
故AA₁与棱BC所成的角是

π

3

．          …（8分）
（3）因为P为棱B₁C₁的中点，所以P的坐标为（1，3，2）．                     …（10分）
设平面PAB的法向量为

n1

=（x，y，z），则

x+3y+2z=0 2y=0

令z=1故

n1

=(-2，0，1)                               …（12分）
而平面ABA₁的法向量

n2

=（1，0，0），则 |cos＜

n1

，

n2

＞|=|

n1 • n2

| n1 || n2 |

|=

2 5

5

故二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值是

2 5

5

．               …（14分）

点评：本题以三棱柱为载体，考查了直线与平面垂直的判定，以及二面角及其度量和点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．