题目内容

已知f（x）=log₂（4^x+1）+2kx　（x∈R）是偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）若函数F（x）=f（x）-m的一个零点在区间（0， $数学公式$ ）内，求实数m的取值范围．

解：（1）∵f（x）=log₂（4^x+1）+2kx （x∈R）是偶函数，∴f（-x）=f（x），即 log₂（4^-x+1）-2kx=log₂（4^x+1）+2kx，
∴ $\text{[math]}$ -4kx=0，即 $\text{[math]}$ -4kx=0，即 $\text{[math]}$ -4kx=0，即-2x-4kx=0，
∴k=- $\text{[math]}$ ．
（2）由以上可得 f（x）=log₂（4^x+1）-x，若函数F（x）=f（x）-m=log₂（4^x+1）-x-m 的一个零点在区间（0， $\text{[math]}$ ）内，
则有 F（0）F（ $\text{[math]}$ ）＜0，即（1-m）×（log₂3- $\text{[math]}$ -m）＜0，即（m-1）（m- $\text{[math]}$ ）＜0，解得 1＜m＜ $\text{[math]}$ ，
故实数m的取值范围为（1， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）由题意可得f（-x）=f（x），化简可得即 $\text{[math]}$ -4kx=0，即-2x-4kx=0，由此求得 k的值．
（2）由以上可得 f（x）=log₂（4^x+1）-x，F（0）F（ $\text{[math]}$ ）＜0，化简得（m-1）（m- $\text{[math]}$ ）＜0，由此求得实数m的取值范围．
点评：本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，函数的奇偶性的定义，属于基础题．