Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点为，点在椭圆上.

（1）设点到直线的距离为，证明：为定值；

（2）若是椭圆上的两个动点（都不与重合），直线的斜率互为相反数，当时，求直线的斜率.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据点与点的距离，点到直线的距离，再根据点P在椭圆上；（2）设直线PA的方程为y﹣n＝k（x﹣m），则直线PB的方程为y﹣n＝﹣k（x﹣m），分别与椭圆联立，求出点A，B的横坐标，根据斜率公式化简整理即可求出．

（1）椭圆C：1的左，右焦点为F1，F2，

则F2（1，0），

∵P（m，n）在椭圆C上，

∴1，

∴d＝4﹣m，|PF2||m﹣2||4﹣m|，

∴2．

（2）0＜m＜2，则n＞0，则直线PA，PB的斜率一定存在，设直线PA的方程为y﹣n＝k（x﹣m），则直线PB的方程为y﹣n＝﹣k（x﹣m），

由，消y可得（3+4k2）﹣8k（n﹣km）x+4（n﹣km）2﹣12＝0，

∴mxA，

即xA，

同理可得xB，

∴yA﹣yB＝k（xA﹣m）+n+k（xB﹣m）﹣n＝k（xA+xB﹣2m）＝k（2m），

xA﹣xB，

∵1，

∴﹣3m2＝4n2﹣12，

∴kABm，

当m＝1，n＞0时，kAB．