Question

17．7个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？
（1）其中甲不站排头，乙不站排尾；
（2）其中甲、乙、丙3人两两不相邻；
（3）其中甲、乙中间有且只有1人；
（4）其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列．

Answer 1

分析 （1）根据题意，分2种情况讨论：①、甲站在排尾，剩余6人进行全排列，安排在其他6个位置，②、甲不站在排尾，依次分析甲、乙以及剩余5人的排法数目，结合乘法原理可得其排法数目，最后由分类计数原理计算可得答案；
（2）根据题意，分2步进行分析，①、将除甲、乙、丙之外的4人进行全排列，排好后，有5个空位，②、在5个空位种任选3个，安排甲、乙、丙3人，分别求出每一步的排法数目，由分步计数原理计算可得答案；
（3）根据题意，分2步进行分析：①、先将甲、乙全排列，②、在剩余的5个人中任选1个，安排在甲乙之间，③、将三人看成一个整体，与其他四人进行全排列，分别求出每一步的排法数目，由分步计数原理计算可得答案；
（4）根据题意，分2步进行分析：①、在7个位置中任取4个，安排除甲、乙、丙之外的4人，②、将甲、乙、丙按从左到右的顺序安排在剩余的3个空位中，分别求出每一步的排法数目，由分步计数原理计算可得答案．

解答 解：（1）根据题意，分2种情况讨论：
①、甲站在排尾，剩余6人进行全排列，安排在其他6个位置，有$A_6^6$种排法，
②、甲不站在排尾，则甲有5个位置可选，有$A_5^1$种排法，
乙不能在排尾，也有5个位置可选，有$A_5^1$种排法，
剩余5人进行全排列，安排在其他5个位置，有$A_5^5$种排法，
则此时有$A_5^1$$A_5^1$$A_5^5$种排法；
故甲不站排头，乙不站排尾的排法有$A_6^6$+$A_5^1$$A_5^1$$A_5^5$=3720种．
（2）根据题意，分2步进行分析，
①、将除甲、乙、丙之外的4人进行全排列，有$A_4^4$种情况，
排好后，有5个空位，
②、在5个空位种任选3个，安排甲、乙、丙3人，有A₅³种情况，
则共有$A_4^4$$A_5^3$=1440种排法．
（3）根据题意，分2步进行分析：
①、先将甲、乙全排列，有$A_2^2$种情况，
②、在剩余的5个人中任选1个，安排在甲乙之间，有$A_5^1$种选法，
③、将三人看成一个整体，与其他四人进行全排列，有$A_5^5$种排法，
则甲、乙中间有且只有1人共有$A_2^2$$A_5^1$$A_5^5$=1200种排法．
（4）根据题意，分2步进行分析：
①、在7个位置中任取4个，安排除甲、乙、丙之外的4人，有A₇⁴种排法，
②、将甲、乙、丙按从左到右的顺序安排在剩余的3个空位中，只有1种排法，
则甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有A₇⁴=840种．

点评 本题考查排列、组合的应用，注意特殊问题的处理方法，如相邻用捆绑法，不能相邻用插空法，其次要注意分类、分步计数原理的熟练运用．