Question

在数列{an}中，a1=1，an+1=1-

1

4an

，bn=

2

2an-1

，其中n∈N*．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设c_n=n•2ⁿ⁺¹•a_n，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

（1）证明：∵bn-1-bn=

2

2an+1-1

-

2

2an-1

=

2

2(1- 1 4an )-1

-

2

2an-1

=

4an

2an-1

-

2

2an-1

=2(n∈N*)
∴数列{b_n}是等差数列
∵a1=1，∴b1=

2

2a1-1

=2
∴b_n=2+（n-1）×2=2n
由bn=

2

2an-1

得，2an-1=

2

bn

=

1

n

(n∈N*)
∴an=

n+1

2n

（2）由（1）的结论得an=

n+1

2n

，∴cn=n•2n+1•an=(n+1)•2n
∴S_n=2•2¹+3•2²+4•2³++（n+1）•2ⁿ①
2S_n=2•2²+3•2³+4•2⁴++n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-S_n=2•2¹+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹2
=2+2ⁿ⁺¹-2-（n+1）•2ⁿ⁺¹=-n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=n•2ⁿ⁺¹