Question

7．如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求A到平面A₁BD的距离d．

Answer 1

分析 建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标，求出向量$\overrightarrow{AB}$，求出平面A₁BD的法向量，利用空间向量求解距离的计算公式求解即可．

解答 解：建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为D（0，0，0）、B（a，a，0）、A₁（a，0，a），C₁（0，a，a），
设$\overrightarrow{A{C}_{1}}$平面A₁BD的法向量是$\overrightarrow{n}$（x，y，z），则
∵$\overrightarrow{BD}$=（-a，-a，0），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（-a，0，-a），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-ax-ay=0}\\{-ax-az=0}\end{array}\right.$
∴$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-a，a，a）是平面A₁BD的法向量，$\overrightarrow{AB}$=（0，a，0）．
∴A到平面A₁DB的距离d=$\frac{|\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{A{C}_{1}}|}$=$\frac{|{a}^{2}|}{\sqrt{（-a）^{2}+{a}^{2}+{a}^{2}}}$=$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{3}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a．

点评 本题着重考查了点到平面的距离的求法，考查计算能力，正确运用向量的方法是关键．