Question

12．设α、β$∈（\frac{π}{2}，π）$，且sinαcos（α+β）=sinβ，则tanβ的最小值是$-\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 由条件利用两角和差的正弦公式、同角三角函数的基本关系可得 2tan²α•tanβ+tanβ-tanα=0，再根据△=1-8tan^2β≥0，求得tanβ的最小值．

解答 解：∵sinαcos（α+β）=sinβ=sin[（α+β）-α]，
∴sinαcos（α+β）=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα，
化简可得 tan（α+β）=2tanα，即 $\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}$=2tanα，
∴2tan²α•tanβ-tanα+tanβ=0，
∴△=1-8tan²β≥0，
解得-$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤tanβ≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∵β∈（$\frac{π}{2}$，π），∴-$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤tanβ＜0，
故答案为：-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题主要考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．