Question

5．已知抛物线y²=8x的焦点为F，过F作直线l交抛物线与A、B两点，设|FA|=m，|FB|=n，则m．n的取值范围（　　）

• A． （0，4]
• B． （0，14]
• C． [4，+∞）
• D． [16，+∞）

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点坐标，设出方程与抛物线联立，再根据抛物线的定义，即可求得结论．

解答 解：抛物线y²=8x的焦点为F（2，0），
若直线l的斜率不存在，则|FA|=m=|PB|=n=4，
此时m•n=16，
若直线l的斜率存在，设l：y=kx-2k，与y²=8x联立，消去y可得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0
设A，B的横坐标分别为x₁，x₂，
则x₁+x₂=4+$\frac{8}{{k}^{2}}$，x₁x₂=4
根据抛物线的定义可知|FA|=m=x₁+2，|PB|=n=x₂+2，
∴m•n=（x₁+2）（x₂+2）=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4=16+$\frac{8}{{k}^{2}}$＞16，
综上所述，m•n的取值范围为[16，+∞），
故选：D．

点评 本题重点考查抛物线定义的运用，考查直线与抛物线的位置关系，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离是解题的关键．