Question

设a、b是两个互相垂直的单位向量，是否存在整数k，使向量m=ka+b与n=a+kb的夹角为60°？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：假设存在整数k满足条件，∵a⊥b, ∴a·b=0. ∵|a|=|b|=1,?∴m·n=(ka+b)(a+kb)=ka²+a·b+k²a·b+kb²=2k, |m|²=(ka+b)²=k²a²+2ka·b+b²=k²+1，即|m|=，|n|²=(a+kb)²=a²+2ka·b+k²b²=1+k²,即|n|=. 由cos60°===,即k²-4k+1=0, 解得k=2±Z. ∴假设不成立.?故不存在整数k，使m,n的夹角为60°.