题目内容
设
，
是两个互相垂直的单位向量，已知向量
=k
+
，
=
+k
，(k＞0)且向量
与
夹角θ的余弦值为f(k)，
（1）求f（k）的表达式．
（2）求f（k）的值域及夹角θ=60°时的k值．
（3）在（1）的条件下解关于k的不等式：f[f(k)]＜
，(a∈R)．
| a |
| b |
| m |
| a |
| b |
| n |
| a |
| b |
| m |
| n |
（1）求f（k）的表达式．
（2）求f（k）的值域及夹角θ=60°时的k值．
（3）在（1）的条件下解关于k的不等式：f[f(k)]＜
| -3ak2+(a2+4)k |
| k4+6k2+1 |
（1）∵
⊥
∴
•
=0，
∵|
|=|
|=1
∴
•
=(k
+
)(
+k
)=k
2+(1+k2 )
•
+k
2=2k
∵|
|2=(k
+
)2=1+k2，同理可得|
|2=
∴f（k）=cosθ=
=
（k＞0）…（4分）
（2）因为1+2k2≥2k当且仅当k=1时等号成立
所以f（k）∈（0，1]，
当θ=60°时，cosθ=
=
∴k=2±
（8分）
（3）由（1）可得f[f（k）]=f（
）=
=
＜
?4k3+4k＜-3ak2+（4+a2）k
?k（4k2+3ak-a2）＜0
?4k(k+a)(k-
)＜0，
∵k＞0
当a＞0时，解可得0＜k＜
当a=0时，解为k＜0且k＞0，此时k不存在
当a＜0时，解为0＜k＜-a
综上所述：当a＞0时，解集为{k|0＜k＜
}；
当a=0时，解集为∅
当a＜0时，解集为{k|0＜k＜-a}（12分）
| a |
| b |
| a |
| b |
∵|
| a |
| b |
∴
| m |
| n |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
∵|
| m |
| a |
| b |
| n |
| 1+k2 |
∴f（k）=cosθ=
| ||||
|
|
| 2k |
| 1+k2 |
（2）因为1+2k2≥2k当且仅当k=1时等号成立
所以f（k）∈（0，1]，
当θ=60°时，cosθ=
| 2k |
| 1+k2 |
| 1 |
| 2 |
∴k=2±
| 3 |
（3）由（1）可得f[f（k）]=f（
| 2k |
| 1+k2 |
2×
| ||
1+(
|
| 4k(1+k2) |
| 1+6k2+k4 |
| -3ak2+(4+a2)k |
| 1+6k2+k4 |
?4k3+4k＜-3ak2+（4+a2）k
?k（4k2+3ak-a2）＜0
?4k(k+a)(k-
| a |
| 4 |
∵k＞0
当a＞0时，解可得0＜k＜
| a |
| 4 |
当a=0时，解为k＜0且k＞0，此时k不存在
当a＜0时，解为0＜k＜-a
综上所述：当a＞0时，解集为{k|0＜k＜
| a |
| 4 |
当a=0时，解集为∅
当a＜0时，解集为{k|0＜k＜-a}（12分）
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