题目内容
【题目】已知函数
．
（1）若函数
有两个极值点
，求实数a的取值范围；
（2）若
对任意
都恒成立，求证：a的最大值大于8．
【答案】（1）
；（2）证明见详解.
【解析】
（1）将问题转化为
有两个不同的实数根，分离参数，构造新的函数，利用导数研究函数单调性和值域，从而求参数范围；
（2）将恒成立问题，经过分离参数后，转化为函数最值的问题，从而进行证明.
（1）由
可得
，
函数
有两个极值点等价于有两个不同的实数根，
也等价于
有两个不同的实数根（
显然不是根）
令
，则
，
在
单减，
上单减，
上单增；
且
时，
，
时，
，
有两解，需
，即，
下证是
有两解的必要条件：
当时，
，
，
，
在上有且只有一个解，
又因为
，.
在上有且只有一个解，
综上所述：；
（2）因为
等价于：
等价于
对
恒成立，
①当
或1时，
满足；
②当
时，
显然大于0，
故恒成立，
等价于
恒成立，
等价于
恒成立.
而欲证
即证
即可.
就是证：
也就是证明：
，对任意的恒成立.
先证：
，
．
令
，．
因为
，
所以
在上单调递增，
则有
，
，．
所以，要证，，
需证
，，
即证
恒成立
也就是证：
恒成立
而
显然成立，
故恒成立
即恒成立
，对任意的恒成立.
成立
故成立，即证.
【题目】某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如表：
质量指标值m | 25≤m＜35 | 15≤m＜25或35≤m＜45 | 0＜m＜15或45≤m≤65 |
等级 | 一等品 | 二等品 | 三等品 |
某企业从生产的这种产品中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值，得到如图所示的频率分布直方图．（同一组数据用该区间的中点值作代表）：
（1）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品82%”的规定？
（2）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X近似满足X～N（31，122），则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升或降低多少？
（3）若企业每件一等品售价180元，每件二等品售价150元，每件三等品售价120元，以样本中的频率代替相应概率，现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．
