题目内容

(1)求函数y＝(1－x)的最大值(0＜x＜1)；

(2)求函数y＝x(1－)的最大值(0＜x＜1)．

答案：
解析：

　　解(1)∵0＜x＜1，∴1－x＞0，∴当＝1－x，即x＝时，y＝4··(1－x)≤4·＝，当＝1－x，即x＝时，y达到最大值．

　　(2)∵0＜x＜1，∴0＜1－＜1，从而y＞0，故为求y的最大值，可先求的最大值．，∵＋(1－)＝2，∴当，即达到最大值，∴y也达到最大值．


提示：

注 也可这样分拆y＝·x·x(2－2x)，即要将表达式中相应的项拆成若干相等的部分．


练习册系列答案
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函数的一段图象如图所示．

(1)求函数y＝f(x)的解析式；

(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，得到y＝g(x)的图象，求函数g(x)在内的单调递增区间。

已知函数f(x)＝cosx－sinx＋1(x∈R).

(1)求函数y＝f(x)的最大值，并指出取得最大值时相应的x的值；

(2)求函数y＝f(x)的单调增区间.

设函数

(1)求函数y＝f(x)的单调区间；

(2)求y＝f(x)在[－1,2]上的最小值；

(3)当x∈(1，＋∞)时，用数学归纳法证明

已知函数f(x)＝alnx－x2＋1.

(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为4x－y＋b＝0，求实数a和b的值；

(2)若a<0，且对任意x1、x2∈(0，＋∞)，都|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|，求a的取值范围．

【解析】第一问中利用f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

第二问中，利用当a<0时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

不妨设0<x1≤x2，则|f(x1)－f(x2)|＝f(x1)－f(x2)，|x1－x2|＝x2－x1，

∴|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|等价于f(x1)－f(x2)≥x2－x1，

即f(x1)＋x1≥f(x2)＋x2，结合构造函数和导数的知识来解得。

(1)f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

(2)当a<0时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

不妨设0<x1≤x2，则|f(x1)－f(x2)|＝f(x1)－f(x2)，|x1－x2|＝x2－x1，

∴|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|等价于f(x1)－f(x2)≥x2－x1，即f(x1)＋x1≥f(x2)＋x2，

令g(x)＝f(x)＋x＝alnx－x2＋x＋1，g(x)在(0，＋∞)上是减函数，

∵g′(x)＝－2x＋1＝(x>0)，

∴－2x2＋x＋a≤0在x>0时恒成立，

∴1＋8a≤0，a≤－，又a<0，

∴a的取值范围是

 

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