Question

（本小题14分）
已知函数的图像在[a,b]上连续不断，定义：
，，其中表示函数在D上的最小值，表示函数在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得对任意的成立，则称函数为上的“k阶收缩函数”
（1）若，试写出，的表达式；
（2）已知函数试判断是否为[-1,4]上的“k阶收缩函数”，
如果是，求出对应的k，如果不是，请说明理由；
已知，函数是[0,b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围

Answer 1

解：（1）由题意可得：，。
（2），，
当时，
当时，
当时，
综上所述，。
即存在，使得是[-1,4]上的“4阶收缩函数”。
（3），令得或。
函数的变化情况如下：

x		0		2
	-	0	+	0	-
		0		4

令得或。
（i）当时，在上单调递增，因此，，。因为是上的“二阶收缩函数”，所以，
①对恒成立；
②存在，使得成立。
①即：对恒成立，由解得或。
要使对恒成立，需且只需。
②即：存在，使得成立。
由解得或。
所以，只需。
综合①②可得。
（i i）当时，在上单调递增，在上单调递减，
因此，，，，
显然当时，不成立。
（i i i）当时，在上单调递增，在上单调递减，因此，，，，
显然当时，不成立。
综合（i）（i i）（i i i）可得：

略