Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1
（1）求直线DB与平面A₁BCD₁所成角的大小；
（2）求四棱锥D-BCD₁A₁的体积．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空间直角坐标系，如图所示．利用斜线的方向向量和平面的法向量的夹角即可得到线面角；
（2）利用点到平面的距离公式及四棱锥的体积计算公式即可得出．
解答：解：（1）以D为坐标原点，分别以射线DA、DC、DD₁为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
则D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D₁（0，0，1）．
，，．
设是平面A₁BCD₁的法向量，则，即令z=1，则y=1，x=0，∴．
设直线DB与平面A₁BCD₁所成角为θ，则===．
由于，∴．
即直线DB与平面A₁BCD₁所成角的大小为；
（2）由（1）得．
∴点D到平面A₁BCD₁的距离．
∵四边形A₁BCD₁是矩形，∴面积S=BC•CD₁=．
∴．
点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系，利用斜线的方向向量和平面的法向量的夹角得到线面角；利用向量表示点到平面的距离公式，四棱锥的体积计算公式是解题的关键．