Question

已知点A的坐标为（-4，4），直线l的方程为3x+y-2=0，求：
（1）点A关于直线l的对称点A′的坐标；
（2）直线l关于点A的对称直线l′的方程．

Answer 1

分析：（1）设出点A关于直线l的对称点A′的坐标，利用斜率乘积等于-1，中点坐标公式在对称轴上，列出方程组求解即可；
（2）直线l关于点A的对称直线l′，两条直线平行，设出l′的方程，通过直线l上的一点M（0，2），求出关于A的对称点，代入l′方程，即可求解．

解答：解：（1）设点A′的坐标为（x′，y′）．
因为点A与A′关于直线l对称，所以AA′⊥l，且AA′的中点在l上，而直线l的斜率是-3，所以k_AA'′=

1

3

．
又因为k_AA'=

y′-4

x′+4

，所以

y′-4

x′+4

=

1

3

…①．
再因为直线l的方程为3x+y-2=0，AA′的中点坐标是（

x′-4

2

，

y′+4

2

），所以3•

x′-4

2

+

y′+4

2

-2=0…②．
由①和②，解得x′=2，y′=6．所以A′点的坐标为（2，6）．
（2）关于点A对称的两直线l与l′互相平行，于是可设l′的方程为3x+y+c=0．在直线l上任取一点M（0，2），其关于点A对称的点为M′（x′，y′），于是M′点在l′上，且MM′的中点为点A，由此得

x′+0

2

=-4，

y′+2

2

=4，即：x′=-8，y′=6．
于是有M′（-8，6）．因为M′点在l′上，
所以3×（-8）+6+c=0，∴c=18．
故直线l′的方程为3x+y+18=0．

点评：本题考查与直线关于点、直线对称的直线方程的求法，对称点的求法，考查计算能力转化思想．