Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（

3

，0），短轴一顶点与两焦点连线夹角为120°．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0），点Q（0，m）在线段AB的垂直平分线上且

.

QA

•

.

QB

≤4，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意知a=2b，c=

3

，a²=b²+c²，由此能得到椭圆方程．
（2）由A（-2，0），设B（x₁，y₁），直线l的方程为y=k（x+2），知A、B两点的坐标满足方程组

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

，由方程消去y并整理得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，由-2x₁=

16k2-4

1+4k2

得x₁=

2-8k2

1+4k2

，从而y₁=

4k

1+4k2

，设线段AB的中点为M，则M的坐标为（-

8k2

1+4k2

，

2k

1+4k2

．然后再分类讨论进行求解．

解答：解：（1）由题意知a=2b，c=

3

，a²=b²+c²
解得a=2，b=1，∴椭圆方程为

x2

4

+y²=1．（4分）
（2）由（1）可知A（-2，0），设B点坐标为（x₁，y₁），
直线l的方程为y=k（x+2）
于是A、B两点的坐标满足方程组

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

由方程消去y并整理得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0
由-2x₁=

16k2-4

1+4k2

得x₁=

2-8k2

1+4k2

，从而y₁=

4k

1+4k2

设线段AB的中点为M，则M的坐标为（-

8k2

1+4k2

，

2k

1+4k2

）（7分）
以下分两种情况：
①当k=0时，点B的坐标为（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，
于是

.

QA

=（-2，-m），

.

QB

=（2，-m），
由

.

QA

•

.

QB

≤4
得：-2

2

≤m≤2

2

．（9分）
②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为
y-

2k

1+4k2

=-

1

k

（x+

8k2

1+4k2

）
令x=0，得m=-

6k

1+4k2

由

.

QA

•

.

QB

=-2x₁-m（y₁-m）

=

-2(2-8k2)

1+4k2

+

6k

1+4k2

（

4k

1+4k2

+

6k

1+4k2

）
=

4(16k4+15k2-1)

(1+4k2)2

≤4
解得-

14

7

≤k≤

14

7

且k≠0（10分）
∴m=-

6k

1+4k2

=-

6

1 k +4k

∴当-

14

7

≤k＜0时，

1

k

+4k≤-4
当0＜k≤

14

7

时，

1

k

+4k≥4
∴-

3

2

≤m≤

3

2

，且m≠0（12分）
综上所述，-

3

2

≤m≤

3

2

，且m≠0．（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法和求m的取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐条件，解题时要注意分类讨论思想的应用．