Question

【题目】已知椭圆的短轴长为，左右焦点分别为，，点是椭圆上位于第一象限的任一点，且当时，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若椭圆上点与点关于原点对称，过点作垂直于轴，垂足为，连接并延长交于另一点，交轴于点.

（ⅰ）求面积最大值；

（ⅱ）证明：直线与斜率之积为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析.

【解析】

（1）由，解方程组即可得到答案；

（2）（ⅰ）设，，则，，易得，注意到，利用基本不等式得到的最大值即可得到答案；（ⅱ）设直线斜率为，直线方程为，联立椭圆方程得到的坐标，再利用两点的斜率公式计算即可.

（1）设，由，得.

将代入，得，即，

由，解得，

所以椭圆的标准方程为.

（2）设，，则，

（ⅰ）易知为的中位线，所以，

所以，

又满足，所以

，得，

故，当且仅当，即，时取等号，

所以面积最大值为.

（ⅱ）记直线斜率为，则直线斜率为，

所以直线方程为.

由，得，

由韦达定理得，所以，

代入直线方程，得，

于是，直线斜率，

所以直线与斜率之积为定值.