Question

【题目】设函数f（x）＝x2+bln（x+1），其中b≠0．

（1）若b＝﹣12，求f（x）在[1，3]的最小值；

（2）如果f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）4﹣12ln3（2）

【解析】

（1）当b＝﹣12时令由得x＝2则可判断出当x∈[1，2）时，f（x）单调递减；当x∈（2，3]时，f（x）单调递增故f（x）在[1，3]的最小值在x＝2时取得；

（2）要使f（x）在定义域内既有极大值又有极小值即f（x）在定义域内与X轴有三个不同的交点即使在（﹣1，+∞）有两个不等实根即2x2+2x+b＝0在（﹣1，+∞）有两个不等实根这可以利用一元二次函数根的分布可得解之求b的范围．

解：（1）由题意知，f（x）的定义域为（1，+∞）

b＝﹣12时，由，得x＝2（x＝﹣3舍去），

当x∈[1，2）时f′（x）＜0，当x∈（2，3]时，f′（x）＞0，

所以当x∈[1，2）时，f（x）单调递减；当x∈（2，3]时，f（x）单调递增，

所以f（x）min＝f（2）＝4﹣12ln3．

（2）由题意在（﹣1，+∞）有两个不等实根，

即2x2+2x+b＝0在（﹣1，+∞）有两个不等实根，

设g（x）＝2x2+2x+b，则，解之得