Question

11．在平面直角坐标系xoy中，已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（cosx，sinx），$x∈（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$．
（I）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，求tanx的值；
（II）若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{6}$，求x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$便可得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，进行数量积的坐标运算便可求出tanx的值；
（Ⅱ）由向量夹角余弦的坐标公式即可得到$\frac{1}{2}cosx-\frac{\sqrt{3}}{2}sinx=sin（\frac{π}{6}-x）=\frac{\sqrt{3}}{2}$，根据x的范围可以求出$\frac{π}{6}-x$的范围，从而便可得出x的值．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$；
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b=\frac{1}{2}cosx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx=0$，即$tanx=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；
（Ⅱ）$cos\frac{π}{6}=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{\frac{1}{2}cosx-\frac{\sqrt{3}}{2}sinx}{1•1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$sin（\frac{π}{6}-x）=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∵$x∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$；
∴$\frac{π}{6}-x∈（-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}）$；
∴$\frac{π}{6}-x=\frac{π}{3}$；
∴$x=-\frac{π}{6}$．

点评 考查向量垂直的充要条件，数量积的坐标运算，以及弦化切公式，两角差的正弦公式，已知三角函数值求角，向量夹角的余弦公式．