Question

如图所示的长方体中，底面是边长为的正方形，为与的交点，，是线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．

Answer 1

（1）证明过程详见试题解析；（2）三棱锥的体积为．

解析试题分析：（1）连接，要证平面，需证∥，而∥易证；
（2）用割补法，用长方体的体积减去四个三棱锥的体积即可，求得结果为.
试题解析：（1） 连结，如图，
∵、分别是、的中点，是矩形，
∴四边形是平行四边形，
∴．               2分
∵平面，平面，
∴平面．         6分
（2） 解法1 连结，∵正方形的边长为2，
，∴，，，则，
∴．                                       8分
又∵在长方体中，，，且，
∴平面，又平面，
∴，又，              
∴平面，即为三棱锥的高．      10分
∵，
∴．                 12分
解法2： 三棱锥是长方体割去三棱锥、三棱锥、三棱锥、三棱锥后所得，而三棱锥、、、是等底等高，故其体积相等．
．
考点：线面平行的判定定理、空间几何体的表面积和体积.