Question

11．已知函数f（x）=$\frac{{-{3^x}+m}}{{{3^{x+1}}+n}}$（m＞0，n＞0）．
（1）当m=n=1时，证明：函数y=f（x）不是奇函数；
（2）若函数y=f（x）是奇函数，求m，n的值；
（3）在（2）的条件下，解不等式f（f（x））+f（$\frac{1}{9}$）＜0．

Answer 1

分析 （1）证明函数不是奇函数，只要找出关于原点对称的两个点的函数值不等即可；
（2）由奇函数的定义，f（x）+f（-x）=0，代入进行化简，对x∈R恒成立即可得出m，n的值；
（3）由（2）可知f（x）的关系式，由f（x）在R上是单调减函数，且函数y=f（x）为奇函数且，由f（f（x））+f（$\frac{1}{9}$）＜0，得$f（x）＞-\frac{1}{9}$，即可解得不等式．

解答 解：（1）∵当m=n=1时，$f（x）=\frac{{-{3^x}+1}}{{{3^{x+1}}+1}}$，$f（-1）=\frac{1}{3}，f（1）=-\frac{1}{5}，f（-1）≠f（1）$，
∴函数y=f（x）不是奇函数．…（4分）
（2）由定义，在R上的函数$f（x）=\frac{{-{3^x}+m}}{{{3^{x+1}}+n}}$是奇函数对一切x∈R，f（x）+f（-x）=0恒成立，
即$\frac{-{3}^{x}+m}{{3}^{x+1}+n}$+$\frac{-{3}^{-x}+m}{{3}^{-x+1}+n}$=0，
整理得（3m-n）（3^x）²+（2mn-6）3^x+3m-n=0对任意x∈R恒成立，
故$\left\{{\begin{array}{l}{3m-n=0}\\{mn=3}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}}\right.$，…（10分）
（3）由$f（x）=\frac{1}{3}•\frac{{1-{3^x}}}{{1+{3^x}}}=\frac{1}{3}（\frac{2}{{1+{3^x}}}-1）$在R上是单调减函数，…（12分）
又∵函数y=f（x）为奇函数且，由$f（f（x））+f（\frac{1}{9}）＜0$得$f（f（x））＜f（-\frac{1}{9}）$，
∴$f（x）＞-\frac{1}{9}$，…（14分）
化简得3^x＜2，
∴x＜log₃2．      …（16分）

点评 本题考查函数的奇偶性的判断，函数奇偶性的定义，考查学生的计算能力和灵活转化问题的能力，属于中档题．