题目内容
如图，三条平行直线l1，l，l2把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），且直线l到l1，l2的距离相等．点O在直线l上，点A、B在直线l1上，P为平面区域内一点，且
| OP |
| OA |
| OB |
（1）若λ1＞1，λ2＞1，则点P位于区域Ⅰ；
（2）若点P位于区域Ⅱ，则λ1+λ2＞1；
（3）若点P位于区域Ⅲ，则-1＜λ1+λ2＜0；
（4）若点P位于区域IV，则λ1+λ2＜-1；
则所有正确命题的序号为
（1）（3）（4）
（1）（3）（4）
．分析：利用平面向量的基本定理和平行四边形法则、共线定理，并分类讨论即可得出．
解答：解：（1）如图所示，若λ1＞1，λ2＞1，
=λ1
+λ2
=λ
=λ(
+
)，
则点P位于区域Ⅰ，正确；
（2）取λ1=
，λ2=
，
则
=
+
=
(
+
)，其点P位于区域II内，但是λ1+λ2=
＜1，因此（2）不正确；
（4）分别作
=-
，
=-
，平行四边形OMEN．
OE∩MN=F．则
=
(
+
)=-
(
+
)，
此时λ1+λ2=-1．
在直线MN上任取一点Q，则
=
+
=-
(
+
)+λ
=-
(
+
)+λ(
-
)=-
(
+
)+λ(-
+
)=(-
-λ)
+(-
+λ)
，此时λ1+λ2=-1．
在区域IV内，任取一点P′，不妨设
=λ
=λ(λ1
+λ2
)=λλ1
+λλ2
，
则λλ1+λλ2=-λ＜-1．因此正确．
（3）由（4）可知：点P位于区域IV，则λ1+λ2＜-1；点P位于直线l2上时，λ1+λ2=-1．
于是可得：点P位于区域Ⅲ，则-1＜λ1+λ2＜0．
综上可知：只有（1）（3）（4）正确．
故答案为：（1）（3）（4）正确．
| OP |
| OA |
| OB |
| OP1 |
| OA |
| OB |
则点P位于区域Ⅰ，正确；
（2）取λ1=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
则
| OP |
| 1 |
| 4 |
| OA |
| 1 |
| 4 |
| OB |
| 1 |
| 4 |
| OA |
| OB |
| 1 |
| 2 |
（4）分别作
| OM |
| OA |
| ON |
| OB |
OE∩MN=F．则
| OF |
| 1 |
| 2 |
| OM |
| ON |
| 1 |
| 2 |
| OA |
| OB |
此时λ1+λ2=-1．
在直线MN上任取一点Q，则
| OQ |
| OF |
| FQ |
| 1 |
| 2 |
| OA |
| OB |
| NM |
| 1 |
| 2 |
| OA |
| OB |
| OM |
| ON |
| 1 |
| 2 |
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
| 1 |
| 2 |
| OA |
| 1 |
| 2 |
| OB |
在区域IV内，任取一点P′，不妨设
| OP′ |
| OQ |
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
则λλ1+λλ2=-λ＜-1．因此正确．
（3）由（4）可知：点P位于区域IV，则λ1+λ2＜-1；点P位于直线l2上时，λ1+λ2=-1．
于是可得：点P位于区域Ⅲ，则-1＜λ1+λ2＜0．
综上可知：只有（1）（3）（4）正确．
故答案为：（1）（3）（4）正确．
点评：本题综合考查了平面向量的基本定理和平行四边形法则、共线定理、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．
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