Question

（2012•泰州二模）选修4-2：矩阵与变换
已知M=

1    2 2    1

，β=

1 7

，试计算M³β．

Answer 1

分析：先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量，将矩阵β用征向量α₁，α₂，表示出来，然后再代入M³β进行计算．

解答：解：矩阵M的特征多项式为f（λ）=

.

λ-1 -2 -2 λ-1

.

=λ²-2λ-3
令f（λ）=0解得λ₁=3，λ₂=-1
从而矩阵M对应的特征向量分别为α₁=

1   1

，α2=

1   -1

令β=mα₁+nα₂，
所以m

1   1

+n

1   -1

=

1   7

即

m+n=1 m-n=7

解得

m=4 n=-3

故M³β=M³（4α₁-3α₂）
=4（M³α₁）-3（M³α₂）
=4（λ₁³α₁）-3（λ₂³α₂）
=4•3³

1   1

-3（-1）³

1   -1

=

111   105

点评：此部分是高中新增的内容，但不是很难，套用公式即可解答，主要考查学生的计算能力．