Question

（2012•泰州二模）若动点P在直线l₁：x-y-2=0上，动点Q在直线l₂：x-y-6=0上，设线段PQ的中点为M（x₁，y₁），且（x₁-2）²+（y₁+2）²≤8，则x₁²+y₁²的取值范围是

[8，16]

．

Answer 1

分析：由题意求出M所在的直线方程与圆及内部的公共部分，M是一条线段，画出图形，通过

x

2 1

+

y

2 1

的几何意义，求出它的范围即可．

解答：解：因为动点P在直线l₁：x-y-2=0上，动点Q在直线l₂：x-y-6=0上，
设线段PQ的中点为M（x₁，y₁），所以M在直线x-y-4=0，
又M满足（x₁-2）²+（y₁+2）²≤8，所以M的轨迹是直线x-y-4=0与圆及内部的公共部分，M是一条线段，
如图：

x

2 1

+

y

2 1

的几何意义是坐标原点到线段x-y-4=0（0≤x≤4）距离的平方，因为圆的图形过原点，
所以

x

2 1

+

y

2 1

的最小值为：8．最大值为：16．

x

2 1

+

y

2 1

的取值范围是[8，16]．
故答案为：[8，16]．

点评：本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，M表示的直线段以及表达式的几何意义是解题的关键，考查转化思想计算能力．