Question

已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

m

=（1，1-

3

sinB），

n

=（cosB，1）且

m

⊥

n

，
（1）求角B；
（2）若a+c=

3

b，判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）利用向量的垂直关系求得cosB和sinB的关系，根据两角和公式求得sin（B-

π

6

），进而求得B．
（2）利用正弦定理求得把边的问题转化成角的正弦，然后利用两角和整理求得sin（A+

π

6

）的值，进而求得A，则利用三角形内角和求得C．进而可判断出三角形的形状．

解答：解：（1）∵

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=0即有cosB+1-

3

sinB=0
得

3

sinB-cosB=1
∴sin(B-

π

6

)=

1

2

B∈（0，π）∴-

π

6

＜B-

π

6

＜-

5π

6

∴B-

π

6

=

π

6

，∴B=

π

3

（2）∵a+c=

3

b，∴sinA+sinC=

3

sinB=

3

2

∵A+C=

2

3

π，∴C=

2

3

π-A
sinA+sin(

2

3

π-A)=

3

2

得

3

2

cosA+

3

2

sinA=

3

2

sin(A+

π

6

)=

3

2

A∈(0，

2

3

π)
∴A+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)∴A+

π

6

∈

π

3

或

2π

3

∴A=

π

3

或

π

2

当A=

π

6

，B=

π

2

时，此时C=

π

2

，△ABC为直角三角形；
当A=

π

2

时，△ABC为直角三角形．

点评：本题主要考查了三角形的形状的判断，正弦定理的应用和两角和公式的化简求值．考查了学生对三角函数基础知识的熟练掌握．