Question

13．设f（n）=（$\frac{1+i}{1-i}$）ⁿ+（$\frac{1-i}{1+i}$）ⁿ，n∈N，如果A⊆{f（n）}，则满足条件的集合A有8个．

Answer 1

分析 首先由复数代数形式的乘除运算化简$\frac{1+i}{1-i}$和$\frac{1-i}{1+i}$，然后根据虚数单位i的幂运算性质分类讨论，求出f（n）中的元素，则答案可求．

解答 解：∵$\frac{1+i}{1-i}=\frac{（1+i）^{2}}{（1-i）（1+i）}=\frac{2i}{2}=i$，
∴$\frac{1-i}{1+i}=-i$．
根据虚数单位i的幂运算性质有：f（n）=（$\frac{1+i}{1-i}$）ⁿ+（$\frac{1-i}{1+i}$）ⁿ=${i}^{n}+（-i）^{n}=\left\{\begin{array}{l}{2（n=4k，k∈Z）}\\{0（n=4k+1，k∈Z）}\\{-2（n=4k+2，k∈Z）}\\{0（n=4k+3，k∈Z）}\end{array}\right.$，
∴f（n）有三个不同的值，即f（n）=-2，0，2，A是{f（n）}，它的一个子集．
∴A={-2}，{0}，{2}，{-2，0}，{0，2}，{-2，2}，2，0，2}，{∅}．
则满足条件的集合A有8个．
故答案为：8．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了分类讨论的思想方法，是中档题．