Question

【题目】四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,且∠BAD=60°,A1A=AB,E为BB1延长线上的一点,D1E⊥平面D1AC.

(1)求二面角E-AC-D1的大小;

(2)在D1E上是否存在一点P,使A1P∥平面EAC?若存在,求D1P∶PE的值;不存在,说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）设AC与BD交于O,以O为原点，建立空间直角坐标系，设AB=2，用坐标分别表示有关向量，分别求平面EAC和平面D1AC的法向量，利用数量积公式，可求二面角的平面角或期补角。

（2）设在D1E上存在一点P,使A1P∥平面EAC，则有=λ=λ()，，而，结合（1），有与平面EAC的法向量垂直，建立方程，可求λ，问题得解。

(1)设AC与BD交于O,如图所示建立空间直角坐标系Oxyz,设AB=2,

则A(,0,0),B(0,1,0),C(-,0,0),D(0,-1,0),D1(0,-1,2),

设E(0,1,2+h),则=(0,2,h),=(2,0,0),=(,1,-2),

∵D1E⊥平面D1AC,∴D1E⊥AC,D1E⊥D1A.

∴2-2h=0,∴h=1,即E(0,1,3).

∴=(0,2,1),=(-,1,3).

设平面EAC的法向量为m=(x,y,z),

则由令z=-1,

∴平面EAC的一个法向量为m=(0,3,-1).

又平面D1AC的法向量为=(0,2,1),

∴cos<m,>=,

∴二面角E-AC-D1的大小为45°.

(2)设=λ=λ(),

得,

∴=(-,-1,0)+.

∵A1P∥面EAC,∴⊥m.

∴-×0+3×+(-1)×=0,

∴λ=.

∴存在点P使A1P∥平面EAC,此时D1P∶PE=3∶2.