Question

19．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}+k}$，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 求导数f′（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-2x+k）}{（{x}^{2}+k）^{2}}$，判断x²-2x+k的符号，从而得出f（x）的单调区间，可设y=x²-2x+k：△≤0时，容易得到f（x）的单调增区间为R；而△=4-4k＞0时，可求出方程x²-2x+k有两个不同实根，$x=1±\sqrt{1-k}$，从而知道在两根之外f′（x）＞0，在两根之间f′（x）＜0，为判断f（x）的间断点，从而需讨论k＞0，k=0，和k＜0三种情况，然后写出f（x）的单调区间即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}+k）-{e}^{x}（2x）}{（{x}^{2}+k）^{2}}=\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-2x+k）}{（{x}^{2}+k）^{2}}$；
∴需判断函数y=x²-2x+k的符号：
①若△=4-4k≤0，即k≥1时，f′（x）≥0恒成立；
∴f（x）在R上单调递增，即f（x）的单调增区间为R；
②若△＞0，即k＜1时，解${x}^{2}-2x+k=0得，x=1±\sqrt{1-k}$；
1）k=0时，方程解为x=2，或0；
∴x＜0时，f′（x）＞0，0＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0；
∴f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为（-∞，0），（2，+∞）；
2）k＞0时，$x＜1-\sqrt{1-k}$时，f′（x）＞0，1$-\sqrt{1-k}＜x＜1+\sqrt{1-k}$时，f′（x）＜0，x$＞1+\sqrt{1-k}$时，f′（x）＞0；
∴f（x）的单调增区间为$（-∞，1-\sqrt{1-k}]$，[$1+\sqrt{1-k}$，+∞），单调减区间为$（1-\sqrt{1-k}，1+\sqrt{1-k}）$；
3）k＜0时，1$-\sqrt{1-k}＜0$，$1+\sqrt{1-k}＞\sqrt{|k|}$；
∴f（x）的单调增区间为（$-∞，1-\sqrt{1-k}$]，[1+$\sqrt{1-k}$，+∞），单调减区间为$（1-\sqrt{1-k}，\sqrt{|k|}），（\sqrt{|k|}，1+\sqrt{1-k}）$．

点评 考查根据导数符号判断函数单调性，找出函数单调区间的方法，二次函数的符号和判别式△的关系，解一元二次方程，注意判断函数的间断点，要正确求导．