Question

已知

a

，

b

，

c

是一个平面内的三个向量，其中

a

=（1，2）
（1）若|

c

|=2

5

，

c

∥

a

，求

c

及

a

•

c

．
（2）若|

b

|=

5

2

，且

a

+2

b

与3

a

-

b

垂直，求

a

与

b

的夹角．

Answer 1

分析：（1）由向量

a

与

c

共线，把

c

用

a

的坐标和λ表示，然后由|

c

|=2

5

列式计算λ的值，则向量

c

的坐标可求，代入数量积的坐标表示可得答案；
（2）由

a

+2

b

与3

a

-

b

垂直得其数量积为0，展开后代入已知的模，则可求得

a

•

b

=-

5

2

．代入夹角公式即可得到答案．

解答：解（1）∵

c

∥

a

，

a

=(1，2)，设

c

=λ

a

=(λ，2λ)．
又∵|

c

|=2

5

，∴
λ²+4λ²=20，解得λ=±2．
当

c

、

a

同向时，

c

=(2，4)，此时

a

•

c

=1×2+2×4=10．
当

c

、

a

反向时，

c

=(-2，-4)，此时

a

•

c

=1×(-2)+2×(-4)=-10；
（2）∵(

a

+2

b

)•(3

a

+

b

)=0，
∴3

a

2+5

a

•

b

-2

b

2=0．
又|

a

|=

5

，|

b

|=

5

2

，所以3×5+5

a

•

b

-2×

5

4

=0
即

a

•

b

=-

5

2

．
设

a

与

b

的夹角为θ，则cosθ=

a • b

| a |•| b |

=

- 5 2

5 • 5 2

=-1
∴θ=180°．
所以

a

与

b

的夹角为180°．

点评：本题考查了数量积判断两个向量的垂直关系，考查了向量的夹角及其求法，是中档题．