Question

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点（0，1），且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）A，B为椭圆C的左右顶点，点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线AP，BP分别交直线l：x=2于E，F两点．证明：以线段EF为直径的圆恒过x轴上的定点．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆过点（0，1），且离心率为，求出几何量，即可求椭圆C的方程；
（2）设出直线AP，BP的方程，求出E，F的坐标，利用点M在以线段EF为直径的圆上，=0，即可得出结论．
解答：（1）解：由题意可知，b=1，…（1分）
∵，a²=b²+c²．…（3分）
∴a=2，…（4分）
∴椭圆的方程为．…（5分）
（2）证明：由题可得A（-2，0），B（2，0）．
设P（x，y），由题意可得，直线AP的方程为，…（7分）
令，则y=，即E（，）；                    …（8分）
直线BP的方程为，…（9分）
令，则y=，即F（，）；                   …（10分）
设点M（m，0）在以线段EF为直径的圆上，则=0，…（11分）
即=0，…（12分）
∵，即，
∴，
∴m=或m=．…（13分）
所以以线段EF为直径的圆必过x轴上的定点（，0）或（，0）．…（14分）
点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．